Poměry, skupiny a slovní úlohy

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 3 (4 body)

Mirek jede na malém kole a jeho táta na velkém kole. Na stejnou vzdálenost udělá Mirek 30 otáček a táta 25 otáček.

3.1) Táta udělá 30 otáček — kolik otáček udělá Mirek?

3.2) Táta udělá o 30 otáček méně než Mirek — kolik otáček udělá Mirek?

1 Najdeme poměr otáček

Na stejnou vzdálenost: Mirek udělá 30 otáček, táta 25 otáček.

Zjednodušíme poměr (oba čísla vydělíme 5):

Mirek : Táta = 30 : 25 = 6 : 5

To znamená: na každých 5 otáček táty připadá 6 otáček Mirka. Mirek dělá vždy o 1 dílek (o pětinu) více otáček než táta.

2 3.1) Táta udělá 30 otáček

Poměr je 6 : 5. Táta = 5 dílků.

Když táta udělá 30 otáček: 5 dílků = 30 → 1 dílek = 6 otáček

Mirek = 6 dílků = 6 × 6 = 36 otáček

Nebo jednodušeji: Mirek dělá o pětinu více → 30 + 30 : 5 = 30 + 6 = 36

30 + 30 : 5 = 30 + 6 = 36 otáček

3 3.2) Táta o 30 méně než Mirek

Rozdíl Mirek − Táta = 1 dílek v poměru 6 : 5.

1 dílek = 30 otáček (to je ten rozdíl)

Mirek = 6 dílků = 6 × 30 = 180 otáček

1 dílek = 30 → Mirek = 6 × 30 = 180 otáček

✅ Výsledek

3.1) 36 otáček 3.2) 180 otáček

💡 Tip pro CERMAT

Poměr 6 : 5 znamená, že na každých 5 otáček táty připadá 6 otáček Mirka. Rozdíl je vždy 1 dílek — stačí zjistit, kolik je 1 dílek!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 4 (3 body)

Na váze jsou velké a malé kuličky. Velká kulička váží 30 g, malá 20 g. Malých kuliček je dvakrát tolik jako velkých. Celková hmotnost všech kuliček je 560 g.

4.1) Kolik kuliček je na váze celkem?

4.2) Jaká je hmotnost všech malých kuliček?

1 Najdeme skupinu

Malých kuliček je 2× tolik jako velkých. Vytvoříme skupinu:

Skupina = 1 velká + 2 malé kuličky (celkem 3 kuličky)

Hmotnost jedné skupiny:

Skupina: 1 × 30 + 2 × 20 = 30 + 40 = 70 g

2 Kolik skupin?

Celkem 560 g, jedna skupina váží 70 g:

560 : 70 = 8 skupin → 8 × 3 = 24 kuliček

Na váze je tedy 8 skupin po 3 kuličkách = 24 kuliček celkem.

3 Hmotnost malých kuliček

V každé skupině jsou 2 malé kuličky. Celkem malých: 8 × 2 = 16 kuliček

16 × 20 = 320 g

✅ Výsledek

4.1) 24 kuliček 4.2) 320 g

💡 Tip pro CERMAT

Když je malých 2× tolik jako velkých, vytvoř skupinu 1 velká + 2 malé. Spočítej hmotnost skupiny a kolikrát se vejde do celku. To je klasická CERMAT technika!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 9 (2 body)

V kamionu se převáží bedny s minerálkami. Každá bedna obsahuje 4 vrstvy, v každé vrstvě 3 řady a v každé řadě 7 balení. Celkem se převáží 1560 balení. Všechny bedny kromě poslední jsou plně naplněny. Kolik balení je třeba přidat do poslední bedny, aby byla plná?

Výběrová: A) méně než 32 B) 32 C) 34 D) 36 E) více než 36

1 Kapacita jedné bedny

Každá bedna: 4 vrstvy × 3 řady × 7 balení

4 × 3 × 7 = 84 balení

2 Kolik beden a kolik zbyde?

Celkem 1560 balení, bedna má 84 balení. Dělíme se zbytkem:

1560 : 84 = 18 (zbytek 48), protože 18 × 84 = 1512 a 1560 − 1512 = 48

V poslední bedně je tedy 48 balení. Do plné bedny chybí:

1560 : 84 = 18 (zbytek 48) → chybí: 84 − 48 = 36 balení

✅ Výsledek

D) 36 balení

💡 Tip pro CERMAT

Dělení se zbytkem: nezapomeň, že otázka je „kolik CHYBÍ", ne „kolik tam JE". Odpověď = kapacita − zbytek!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 9 (2 body)

Velká sada figurek dinosaurů stojí 180 Kč a obsahuje 8 T-rexů a 5 Velociraptorů. Malá sada stojí 54 Kč a obsahuje 2 T-rexy a 2 Velociraptory. Standa koupil 2 velké sady a několik malých sad, celkem má 70 figurek. Kolik korun utratil?

Výběrová: A) 900 B) 954 C) 988 D) 1008 E) jinou částku

1 Kolik figurek z velkých sad?

Jedna velká sada: 8 + 5 = 13 figurek

Standa koupil 2 velké sady:

2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 figurek

2 Kolik malých sad?

Celkem má 70 figurek, z velkých sad 26. Zbývá na malé sady:

70 − 26 = 44 figurek

Jedna malá sada: 2 + 2 = 4 figurky

44 : 4 = 11 malých sad

3 Celková cena

2 velké sady: 2 × 180 = 360 Kč

11 malých sad: 11 × 54 = 594 Kč

2 × 180 + 11 × 54 = 360 + 594 = 954 Kč

✅ Výsledek

B) 954 korun

💡 Tip pro CERMAT

Nejdříve spočítej, co je jisté (velké sady), pak dopočítej zbytek. U výběrových úloh si ověř výsledek zpětným dosazením!

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Poměry a skupiny

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

Najdi SKUPINU, která se opakuje (např. 1 velká + 2 malé kuličky) a spočítej její velikost
U poměrů: poměr A : B = počet dílků. Najdi hodnotu jednoho dílku
U výběrových úloh: spočítej a vyber z nabídky. Ověř zpětným dosazením
Dělení se zbytkem: pozor na otázku — ptají se na zbytek, nebo na to, co chybí?

⚠️ Typické chytáky

„O pětinu více" = základ + základ : 5, ne základ × 5!
„O 30 méně" — pozor, kdo má méně než kdo? Rozdíl = 1 dílek v poměru
U dělení se zbytkem: otázka „kolik chybí" = kapacita − zbytek (ne samotný zbytek!)
Malé a velké sady: pozor na různé obsahy a ceny

❌ Nejčastější chyby

Zapomenout vytvořit skupinu a počítat kuličky/figurky jednotlivě
Splést „o pětinu více" s „pětinou" (5× menší)
Neověřit, jestli celkový počet sedí po dosazení zpět

⚖️ Poměry, skupiny a slovní úlohy

🔑 Jak na poměry a skupiny?

🎯 Rady pro CERMAT: Poměry a skupiny