Slovní úlohy — pracujeme pozpátku

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 14 (4 body)

Poutník a kouzelník — oba mají na začátku 54 dukátů. Kouzlo funguje takto: poutník dá kouzelníkovi tolik dukátů, kolik je polovina toho, co kouzelník právě má. Potom se poutníkovi jeho zbylé dukáty zdvojnásobí.

14.1) Kolik dukátů poutník odevzdá kouzelníkovi poprvé?

14.2) Kolik dukátů bude mít poutník po druhém kouzle?

14.3) Jaký nejvyšší počet dukátů může poutník mít?

1 Jak funguje kouzlo?

Rozložme si kouzlo na dva kroky:

1️⃣ Poutník dá kouzelníkovi polovinu kouzelníkových peněz (ze své kapsy).

2️⃣ Poutníkovi se zbytek zdvojnásobí.

Klíč: před zdvojnásobením musí poutník odevzdat peníze. Kolik mu zůstane před zdvojnásobením? To je náš dílek!

2 Trik s dílky — proč 3 dílky?

Celkový počet dukátů před zdvojnásobením se nemění (poutník jen předá peníze kouzelníkovi, nic nepřibyde):

54 + 54 = 108 dukátů celkem

Po předání peněz (ale ještě před zdvojnásobením) je poutníkův zbytek roven jednomu dílku. Ten se zdvojnásobí na 2 dílky. A kouzelník má to, co mu zbyde = 1 dílek. Celkem 3 dílky!

108 dukátů = 1 dílek (P zbytek) + 2 dílky (K nový stav)

108 : 3 = 36 ... jeden dílek

Poutníkovi zbyde 36 (= 1 dílek), zdvojnásobí se na 72. Kouzelník má 2 dílky = 72.

3 14.1: Kolik poutník odevzdá?

Poutník měl 54 a zůstane mu 36 (1 dílek). Takže odevzdal:

54 − 36 = 18 dukátů

Ověření: Kouzelník měl 54, dostal 18 → má 54 + 18 = 72. Poutník měl 54 − 18 = 36, zdvojnásobí se → 72. Oba mají 72! ✅

Před kouzlem: P: 54 K: 54

Po kouzle: P: 72 K: 72

4 14.2: Druhé kouzlo

Teď mají oba 72. Celkem = 72 + 72 = 144. Znovu 3 dílky:

144 : 3 = 48 ... jeden dílek

Poutníkovi zbyde 48 (před zdvojnásobením). Odevzdá: 72 − 48 = 24.

Po zdvojnásobení: 48 × 2 = 96. Kouzelník: 72 + 24 = 96.

Před kouzlem: P: 72 K: 72

Po kouzle: P: 96 K: 96

5 14.3: Třetí kouzlo a maximum

Po 2. kouzle: oba mají 96. Celkem = 96 + 96 = 192. Opět 3 dílky:

192 : 3 = 64 ... jeden dílek

Poutníkovi zbyde 64, zdvojnásobí se na 128. Kouzelník: 96 + 32 = 128.

Po 3. kouzle: P: 128 K: 128

Jde 4. kouzlo? Celkem = 128 + 128 = 256.

256 : 3 = 85, zbytek 2 → nejde dělit beze zbytku!

Kouzlo vyžaduje celé číslo dukátů, takže 4. kouzlo už nejde. Maximum je 128 dukátů.

6 Přehled celé řady kouzel

Kouzlo	P před	Dá	P zbytek	P po (×2)	K po
1.	54	18	36	72	72
2.	72	24	48	96	96
3.	96	32	64	128	128
4.	256 : 3 nejde beze zbytku → STOP

Řada poutníkových dukátů: 54 → 72 → 96 → 128

✅ Výsledek

14.1) 18 dukátů 14.2) 96 dukátů

14.3) Nejvyšší počet = 128 dukátů

💡 Tip pro CERMAT

Trik s dílky: když se něco zdvojnásobuje a něco se předává, hledej společný dílek. Celkem : 3 = jeden dílek.
Vždy si ověř výsledek — sečti oba hráče a zkontroluj, že čísla sedí.
U otázky na maximum: kontroluj dělitelnost třemi! Když celkový součet není dělitelný 3, kouzlo už nejde.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 3. termín, Úloha 4 (3 body)

Adam kupoval v obchodě. Za maso zaplatil trojnásobek toho, co za zeleninu. Za pečivo zaplatil o 15 Kč méně než za zeleninu. Za maso zaplatil 111 Kč. Kolik zaplatil celkem?

1 Co známe? Co hledáme?

Známe: maso = 111 Kč. To je náš startovní bod!

Ze zadání víme:

Zelenina = ? × 3 → Maso = 111 Kč

A taky:

Zelenina = ? − 15 → Pečivo = ?

Pracujeme pozpátku — od masa se vrátíme k zelenině a pak k pečivu!

2 Pozpátku: maso → zelenina

Maso = trojnásobek zeleniny. Otočíme operaci: místo × 3 použijeme : 3

Zelenina = 111 : 3 = 37 Kč

Ověření: 37 × 3 = 111 ✅

3 Zelenina → pečivo

Pečivo = zelenina minus 15. Rovnou dosadíme:

Pečivo = 37 − 15 = 22 Kč

4 Celkem

Sečteme všechny nákupy:

111 + 37 + 22 = 170 Kč

Položka	Cena
🥩 Maso	111 Kč
🥬 Zelenina	37 Kč
🍞 Pečivo	22 Kč
Celkem	170 Kč

✅ Výsledek

Adam zaplatil celkem 170 Kč

💡 Tip pro CERMAT

Najdi číslo, které znáš (maso = 111), a odtud jdi pozpátku.
Trojnásobek = × 3. Pozpátku otočíš na : 3.
Nezapomeň na konci sečíst všechno — CERMAT často chce celkovou částku!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 9 (3 body)

Farmář má 12 krav. Každá kráva dojí denně 15 litrů mléka. Farmář prodává mléko po 8 Kč za litr. Kolik korun dostane farmář za jeden týden?

1 Nakreslíme si řetězec operací

Tady pracujeme krok po kroku dopředu. Rozložme úlohu na jednoduché operace:

12 krav × 15 l → litrů/den × 8 Kč → Kč/den × 7 dní → Kč/týden

Když bychom znali výsledek a hledali počet krav, šli bychom pozpátku a všechna násobení bychom otočili na dělení!

2 Kolik litrů za den?

Každá ze 12 krav dojí 15 litrů:

12 × 15 = 180 litrů za den

3 Kolik korun za den?

Každý litr se prodá za 8 Kč:

180 × 8 = 1 440 Kč za den

4 Kolik korun za týden?

Týden má 7 dní:

1 440 × 7 = 10 080 Kč za týden

✅ Výsledek

Farmář dostane 10 080 Kč

💡 Tip pro CERMAT

U řetězových úloh si nakresli šipky — jasně vidíš, co násobit a v jakém pořadí.
Pozor na jednotky: litry za DEN × dní = litry za TÝDEN. Vždy si kontroluj, co z čeho počítáš.
Kdybys znal výsledek a hledal počet krav, šlo by to pozpátku: 10 080 : 7 : 8 : 15 = 12 krav.

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Práce pozpátku

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

Najdi výsledek (číslo, které znáš) a od něj jdi pozpátku
Každou operaci otoč: + → −, − → +, × → :, : → ×
U řetězových úloh si nakresli šipky — dopředu i pozpátku
U „myslím si číslo" zapiš operace v pořadí ze zadání, pak je otoč od konce

⚠️ Typické chytáky

CERMAT často schová klíčové číslo uprostřed textu — čti zadání pozorně dvakrát!
Pozor na jednotky: litry za DEN × dní = litry za TÝDEN. Kontroluj, co z čeho počítáš
Otázka na celkovou částku — nezapomeň na konci sečíst všechny položky

❌ Nejčastější chyby

Otočit operaci špatným směrem — „trojnásobek" se otáčí na : 3, ne na − 3
Zapomenout na jeden krok při práci pozpátku (přeskočit operaci)
Nezkontrolovat výsledek zpětným dosazením — projdi cestu znovu dopředu!

🔄 Slovní úlohy — pracujeme pozpátku

🔑 Jak pracovat pozpátku?

🎯 Rady pro CERMAT: Práce pozpátku