Technika dílků — zlomky bez rovnic

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 10 (2 body)

Jana dostala 1/5 všech peněz, Ivo dostal dvakrát více než Jana, Eva dostala zbytek = 240 Kč. Kolik korun bylo celkem?

1 Rozložíme na dílky

Jana má 1/5 celku, takže celek = 5 dílků. Jana = 1 dílek.

Ivo dostal dvakrát více než Jana → Ivo = 2 dílky.

Eva dostala zbytek: 5 − 1 − 2 = 2 dílky.

Jana: 1 = 1 dílek (1/5)

Ivo: 12 = 2 dílky (2/5)

Eva: 12 = 2 dílky (2/5) = 240 Kč

2 Eva = 2 dílky = 240 Kč

Víme, že Eva má 2 dílky a ty odpovídají 240 Kč.

1 dílek = 240 : 2 = 120 Kč

3 Celek = 5 dílků

Celkem bylo 5 dílků:

5 × 120 = 600 Kč

✅ Výsledek

600 korun

💡 Tip pro CERMAT

„Dílky" jsou nejdůležitější technika u CERMATu. Když vidíš zlomky (pětina, třetina...), rozlož celek na dílky!

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 1 (4 body)

Tři podúlohy „myslím si číslo":

1.1) Číslo vydělím 7, přičtu 3, zdvojnásobím → 20. Jaké číslo?

1.2) Neznámé číslo zvětšené o jednu jeho polovinu = 198. Jaké číslo?

1.3) Součet dvou čísel je 109, rozdíl je 13. Jaká jsou ta čísla?

1 1.1: Pracujeme pozpátku

Výsledek je 20. Jdeme pozpátku a obracíme operace:

Zdvojnásobili → 20 : 2 = 10

Přičetli 3 → 10 − 3 = 7

Vydělili 7 → 7 × 7 = 49

2 1.2: Dílky!

Číslo = 2 dílky. „O polovinu více" = číslo + polovina čísla = 3 dílky.

Číslo: 12 = 2 dílky

+ polovina: 123 = 3 dílky = 198

3 dílky = 198 → 1 dílek = 198 : 3 = 66

Číslo = 2 × 66 = 132

3 1.3: Metoda součtu a rozdílu

Součet = 109, rozdíl = 13. Existuje jednoduchý trik:

Větší číslo = (109 + 13) : 2 = 122 : 2 = 61

Menší číslo = (109 − 13) : 2 = 96 : 2 = 48

Kontrola: 61 + 48 = 109 ✅ 61 − 48 = 13 ✅

✅ Výsledek

1.1) = 49 1.2) = 132 1.3) = 61 a 48

💡 Tip pro CERMAT

U „myslím si číslo" pomáhá jít pozpátku. U zlomků z čísla (polovina, třetina) kresli dílky!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 4 (3 body)

V restauraci byla čtvrtina všech stolů zarezervována: 4 stoly pro 4 hosty + 5 stolů pro 2 hosty.

4.1) Kolik je v restauraci celkem stolů?

4.2) Polovina stolů pro 2 hosty, třetina pro 3 hosty, zbytek pro 4 hosty. Kolik míst celkem?

1 Kolik stolů?

Zarezervováno: 4 + 5 = 9 stolů. A to je čtvrtina všech.

Zarezervováno = 4 + 5 = 9 stolů = 1/4 celku

Celkem stolů = 9 × 4 = 36 stolů

2 Kolik míst?

Rozdělíme 36 stolů podle pravidel:

Pro 2 hosty: 36 : 2 = 18 stolů → 18 × 2 = 36 míst

Pro 3 hosty: 36 : 3 = 12 stolů → 12 × 3 = 36 míst

Pro 4 hosty: 36 − 18 − 12 = 6 stolů → 6 × 4 = 24 míst

3 Celkem míst

36 + 36 + 24 = 96 míst

✅ Výsledek

4.1) 36 stolů 4.2) 96 míst

💡 Tip pro CERMAT

„Zbytek" = celek minus ostatní části. CERMAT rád testuje, jestli umíš spočítat „ostatní stoly".

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 3 (3 body)

Stuhu rozstříháme na 20 dílů dvou délek: kratší 20 cm, delší 30 cm. Kratších je o třetinu méně než delších.

3.1) Kolik je delších dílů?

3.2) Kolik cm měřila celá stuha?

1 „O třetinu méně" — pozor, chyták!

Tohle je nejčastější CERMAT chyták! „O třetinu méně" znamená:

Třetina se počítá z VĚTŠÍHO čísla (z delších dílů).

Delší díly: 123 = 3 dílky

Kratší díly: 12 = 2 dílky (o třetinu méně = mínus 1 dílek)

Poměr delší : kratší = 3 : 2. Celkem 5 dílků = 20 kusů.

1 dílek = 20 : 5 = 4 kusy

2 Počty dílů

Delších: 3 × 4 = 12

Kratších: 2 × 4 = 8

Kontrola: 12 + 8 = 20 ✅

3 Délka stuhy

12 × 30 + 8 × 20 = 360 + 160 = 520 cm

✅ Výsledek

3.1) 12 delších dílů 3.2) 520 cm

⚠️ CERMAT chyták

„O třetinu méně" je NEJČASTĚJŠÍ CERMAT chyták! Třetina se počítá z VĚTŠÍHO čísla, ne z menšího!

Špatně: kratších = 12, třetina z 12 = 4, delších = 12 + 4 = 16 ❌
Správně: delších = 12, třetina z 12 = 4, kratších = 12 − 4 = 8 ✅

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 10 (2 body)

Jitka, maminka a babička trhaly rybíz. Maminka nasbírala dvakrát více než Jitka. Babička o polovinu více než Jitka. Babička nasbírala o 2 hrnky méně než maminka. Kolik hrnků nasbíraly celkem?

1 Dílky

Jitka = základ. Dáme jí 2 dílky (abychom mohli počítat „polovinu"):

Jitka: 12 = 2 dílky

Maminka: 1234 = 4 dílky (dvakrát více)

Babička: 123 = 3 dílky (o polovinu více = 2 + 1)

Rozdíl maminka − babička = 4 − 3 = 1 dílek = 2 hrnky.

2 Dopočítáme

1 dílek = 2 hrnky

Jitka: 2 × 2 = 4 hrnky

Maminka: 4 × 2 = 8 hrnků

Babička: 3 × 2 = 6 hrnků

Celkem: 4 + 8 + 6 = 18 hrnků

✅ Výsledek

18 hrnků (odpověď A)

💡 Tip pro CERMAT

Všimni si, že „o polovinu více" než Jitka = Jitka + polovina Jitky. Jitka = 2 dílky, tak polovina = 1 dílek, celkem 3 dílky.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 3 (3 body)

Martin má jednobarevné kuličky. Třetina je žlutých, 12 je červených, zbytek modrých. Modrých je o polovinu více než červených.

3.1) Kolik je kuliček celkem?

3.2) Kolik červených dá kamarádce, aby polovina zbylých kuliček byla modrá?

1 Modré kuličky

Modrých je o polovinu více než červených (12):

Modrých = 12 + polovina z 12 = 12 + 6 = 18

2 Celkem kuliček

Červené + modré = 12 + 18 = 30. A to jsou dvě třetiny celku (protože žluté = třetina).

2/3 celku = 30 → 1/3 = 15

Celkem = 3 × 15 = 45 kuliček

Kontrola: žlutých = 15, červených = 12, modrých = 18, celkem 15 + 12 + 18 = 45 ✅

3 Kolik červených dát?

Modrých je 18. Ty mají tvořit polovinu zbylých kuliček.

Modrých = polovina zbylých → zbylých = 18 × 2 = 36

Dal pryč: 45 − 36 = 9 červených kuliček

✅ Výsledek

3.1) 45 kuliček 3.2) 9 červených kuliček

💡 Tip pro CERMAT

„Zbytek" je klíčové slovo! Červené + modré = zbytek po žlutých = dvě třetiny celku.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 10 (2 body)

Ve stanici stojí 3 vlaky. Na 2. koleji je o 3 vagóny více než na 1. koleji. Na 3. koleji je dvakrát více vagónů než na 2. koleji. Celkem 41 vagónů. O kolik více vagónů má 3. kolej než 1.?

1 Dílky!

Všechno vyjádříme pomocí 1. koleje = 1 dílek:

1. kolej: 1 = 1 dílek

2. kolej: 1 = 1 dílek + 3

3. kolej: 12 = 2 × (1 dílek + 3) = 2 dílky + 6

2 Celkem

Sečteme všechny dílky a konstanty:

1 dílek + (1 dílek + 3) + (2 dílky + 6) = 4 dílky + 9 = 41

4 dílky = 41 − 9 = 32 → 1 dílek = 8

3 Výsledek

1. kolej: 8 vagónů

2. kolej: 8 + 3 = 11 vagónů

3. kolej: 2 × 11 = 22 vagónů

Kontrola: 8 + 11 + 22 = 41 ✅

Rozdíl: 22 − 8 = 14

✅ Výsledek

O 14 vagónů (odpověď E)

💡 Tip pro CERMAT

Vyjádři si všechno pomocí jednoho dílku. Pak stačí sečíst dílky a konstanty.

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Technika dílků

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

Když vidíš zlomky (pětina, třetina, polovina), rozlož celek na dílky
Nakresli si dílky jako čárky — zjisti hodnotu jednoho dílku, pak dopočítej zbytek
„Dvakrát více" = 2 dílky proti 1 dílku; „o polovinu více" = 3 dílky proti 2 dílkům
Když znáš součet a rozdíl: větší = (součet + rozdíl) : 2, menší = (součet − rozdíl) : 2

⚠️ Typické chytáky

„O třetinu méně" — třetina se počítá z VĚTŠÍHO čísla, ne z menšího! (poměr 3 : 2)
„O polovinu více" — polovina se počítá z MENŠÍHO čísla (poměr 2 : 3)
Slovo „zbytek" — nezapomeň odečíst všechny ostatní části od celku
Pozor na to, z čeho se zlomek počítá — vždy si rozmysli, které číslo je základ

❌ Nejčastější chyby

Počítat třetinu z menšího místo z většího čísla u „o třetinu méně"
Zapomenout, že „dvakrát více" a „o polovinu více" nejsou totéž — dvakrát více = ×2, o polovinu více = ×1,5
Neověřit si, že součet všech dílků dává správný celek

🧩 Technika dílků — zlomky bez rovnic

🔑 Co je dílek?

🎯 Rady pro CERMAT: Technika dílků