Slovní úlohy | CERMAT 2024

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 4 (6 bodů)

4.1)

Zuzanka koupila dárek a krabičku za 84 Kč celkem. Dárek byl o 72 Kč dražší než krabička. Kolikrát je dárek dražší než krabička?

4.2)

Lukáš dostal k narozeninám 500 Kč, koupil knížku za 186 Kč, zbytek uložil. Maminka poslala 150 Kč, vybral 263 Kč. Zůstalo 470 Kč. Kolik měl před narozeninami?

4.3)

Ráno plná bedna jablek. Dopoledne prodali 1/5 všech, pak ještě 20 kusů. Zůstaly 2/5 původního množství. Kolik jablek bylo v bedně ráno?

1 Příklad 4.1 — Dárek a krabička

Celkem 84 Kč, dárek je o 72 Kč dražší. Představ si to takhle:

Kdyby stály stejně, každá by stála 84 : 2 = 42 Kč.

Ale dárek je dražší o 72 Kč. Ten rozdíl 72 Kč si rozdělíme na dvě poloviny: 72 : 2 = 36 Kč.

2 Příklad 4.1 — Dopočítáme ceny

Jednu polovinu přidáme k dárku, druhou odebereme z krabičky:

Krabička: 42 − 36 = 6 Kč

Dárek: 42 + 36 = 78 Kč

Ověření: 6 + 78 = 84 ✅ a rozdíl je 78 − 6 = 72 ✅

Kolikrát dražší? 78 : 6 = 13×

3 Příklad 4.2 — Lukášovy peníze

Sledujeme, co se dělo na účtu (příjmy + a výdaje −):

Dostal 500 Kč → uložil: 500 − 186 = 314 Kč

Maminka poslala: 314 + 150 = 464 Kč

Vybral: 464 − 263 = 201 Kč

Na účtu přibylo 201 Kč díky narozeninám. Zůstalo 470 Kč celkem.

Před narozeninami: 470 − 201 = 269 Kč

4 Příklad 4.3 — Bedna jablek (technika dílků)

Celou bednu si představ jako 5 stejných dílků (protože v zadání jsou pětiny).

Dopoledne prodali 1 dílek (= 1/5). Zůstaly 4 dílky.

Ale pak prodali ještě 20 ks a zůstaly jen 2 dílky (= 2/5).

Takže těch 20 ks odpovídá: 4 − 2 = 2 dílky.

5 Příklad 4.3 — Spočítáme dílky

2 dílky = 20 jablek → 1 dílek = 10 jablek

Celá bedna = 5 dílků = 5 · 10 = 50 jablek

Ověření: 1/5 z 50 = 10, prodali ještě 20, zůstalo 50 − 10 − 20 = 20 = 2/5 z 50 ✅

✅ Výsledek

4.1) 13× 4.2) 269 Kč 4.3) 50 jablek

💡 Tip pro CERMAT

"O kolik dražší" — rozdíl si rozděl na dvě poloviny a jednu přidej, druhou odeber
U peněz — vždy si zapiš příjmy (+) a výdaje (−), nic nevynechej!
Technika dílků — nakresli si dílky, je to nejsnazší cesta

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 4 (6 bodů)

4.1)

Škola má 750 žáků. Počet žáků ve třídě 5.B krát 5 se rovná 750 děleno 6. Kolik žáků je ve třídě 5.B?

4.2)

6 židlí a 2 křesla stojí dohromady 23 200 Kč. Křeslo je o 400 Kč dražší než židle. Jaká je cena jedné židle?

4.3)

Ráno naložili balíky do dodávky. Prvnímu zákazníkovi vydali 1/6 všech. Druhému 30 balíků. Zbyla polovina. Kolik balíků naložili?

1 Příklad 4.1 — Žáci ve třídě 5.B

Zadání říká: počet žáků 5.B × 5 = 750 : 6. Spočítáme pravou stranu:

750 : 6 = 125

Teď víme: počet žáků × 5 = 125. Otočíme operaci:

125 : 5 = 25 žáků

2 Příklad 4.2 — Židle a křesla

Křeslo je o 400 Kč dražší než židle. Představíme si křeslo jako židli + 400 Kč navíc.

Máme 6 židlí + 2 křesla. Každé křeslo nahradíme „židlí + 400":

6 židlí + 2 × (židle + 400) = 23 200

8 židlí + 800 = 23 200

3 Příklad 4.2 — Cena židle

Odečteme přirážku za 2 křesla:

23 200 − 800 = 22 400 Kč

To je cena za 8 „stejných" židlí:

22 400 : 8 = 2 800 Kč

Ověření: 6 × 2 800 + 2 × 3 200 = 16 800 + 6 400 = 23 200 ✅

4 Příklad 4.3 — Balíky v dodávce (technika dílků)

Celý náklad si rozdělíme na 6 dílků (protože v zadání jsou šestiny).

1. zákazník dostal 1 dílek (= 1/6). Zbývá 5 dílků.

Pak zbyla polovina = 3 dílky. Takže 2. zákazník dostal:

5 − 3 = 2 dílky = 30 balíků

5 Příklad 4.3 — Celkový počet

2 dílky = 30 → 1 dílek = 15 balíků

Celkem = 6 dílků = 6 · 15 = 90 balíků

Ověření: 1/6 z 90 = 15, pak 30, zbylo 90 − 15 − 30 = 45 = polovina z 90 ✅

✅ Výsledek

4.1) 25 žáků 4.2) 2 800 Kč 4.3) 90 balíků

💡 Tip pro CERMAT

U příkladu 4.2 je trik: nahraď dražší věc levnější + přirážkou. Pak máš všechno „stejné" a snadno dělíš.
U zlomků si nakresli dílky — hned vidíš, kolik jich zbývá po každém kroku.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 4 (6 bodů)

4.1)

Dvě čísla. Druhé je polovina prvního. Součet obou čísel je 150. Určete obě čísla.

4.2)

Olga koupila knížku za 170 Kč a čokoládu za 26 Kč. Maminka dala 100 Kč na dárek za 180 Kč. Zůstalo 130 Kč. Kolik měla Olga ušetřeno?

4.3)

Na farmě je 195 zvířat: ovečky, kůzlátka a telátka. Oveček je o polovinu víc než kůzlátek a dvakrát víc než telátek. Kolik je oveček?

1 Příklad 4.1 — Dvě čísla (technika dílků)

Druhé číslo je polovina prvního. Řekneme si: druhé = 1 dílek, první = 2 dílky.

Celkem: 2 dílky + 1 dílek = 3 dílky = 150

1 dílek = 150 : 3 = 50

První číslo = 2 · 50 = 100, Druhé = 50

Ověření: 100 + 50 = 150 ✅ a 50 je polovina 100 ✅

2 Příklad 4.2 — Olžiny peníze

Sledujeme všechny výdaje a příjmy Olgy:

Utratila: −170 − 26 − 180 = −376 Kč

Dostala: +100 Kč od maminky

Celkem změna: −376 + 100 = −276 Kč

Zůstalo jí 130 Kč, takže před nákupy měla:

130 + 276 = 406 Kč

3 Příklad 4.3 — Zvířátka na farmě (technika dílků)

Klíčové: "o polovinu víc" znamená 3/2 toho množství!

Zvolíme si kůzlátka = 4 dílky. Proč 4? Protože pak „o polovinu víc" vyjde hezky:

Kůzlátka = 4 dílky

Ovečky = 4 + 2 = 6 dílků (o polovinu víc než 4)

Telátka = 6 : 2 = 3 dílky (oveček je 2× víc)

4 Příklad 4.3 — Dopočítáme

Celkem: 4 + 6 + 3 = 13 dílků = 195 zvířat

1 dílek = 195 : 13 = 15

Ovečky = 6 · 15 = 90 oveček

Ověření: kůzlátka = 60, telátka = 45, ovečky = 90. Celkem 195 ✅

90 je o polovinu víc než 60 ✅ a dvakrát víc než 45 ✅

✅ Výsledek

4.1) 100 a 50 4.2) 406 Kč 4.3) 90 oveček

⚠️ CERMAT chyták

"O polovinu víc" ≠ "polovina"! Spousta dětí si splete:

Polovina z 60 = 30
O polovinu víc než 60 = 60 + 30 = 90

Tohle je jeden z nejčastějších chytáků na CERMATu!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 4 (6 bodů)

4.1)

Ondra, Pavel a Šárka ušetřili dohromady 750 Kč. Šárka krát 5 se rovná 750 děleno 3. Kolik ušetřila Šárka?

4.2)

Jana měla čokoládu z 32 dílků. 3/8 snědl Petr. Jana snědla o třetinu méně dílků než Petr. Kolik dílků snědl Kamil?

4.3)

Součet tří čísel: první je 82, druhé je o 7 menší, třetí se rovná součtu prvních dvou. Jaký je součet všech tří?

1 Příklad 4.1 — Kolik ušetřila Šárka?

Stejný typ úlohy jako v 2. termínu! Spočítáme pravou stranu:

750 : 3 = 250

Víme: Šárka × 5 = 250. Otočíme:

250 : 5 = 50 Kč

2 Příklad 4.2 — Čokoláda a tři jedlíci

Celá čokoláda = 32 dílků.

Petr snědl 3/8 z 32:

32 · 3 : 8 = 12 dílků

Jana snědla o třetinu méně než Petr. Třetina z 12 = 4:

12 − 4 = 8 dílků

3 Příklad 4.2 — Kolik snědl Kamil?

Zbytek je pro Kamila:

32 − 12 − 8 = 12 dílků

Zajímavost: Petr a Kamil snědli stejně! 😄

4 Příklad 4.3 — Součet tří čísel

Postupujeme krok za krokem:

První číslo = 82

Druhé číslo = 82 − 7 = 75

Třetí číslo = 82 + 75 = 157

Součet: 82 + 75 + 157 = 314

✅ Výsledek

4.1) 50 Kč 4.2) 12 dílků 4.3) 314

💡 Tip pro CERMAT

"O třetinu méně" — spočítej třetinu z původního a odečti ji. Neplést s "třetina"!
U příkladu 4.3: třetí číslo = součet prvních dvou, takže celkový součet = 2 × třetí číslo. Rychlá kontrola: 2 × 157 = 314 ✅

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 12 (3 body)

Čerpadlo naplní 3 nádrže za 2 hodiny.

12.1)

Za jak dlouho naplní 12 nádrží?

A) 4 h B) 6 h C) 8 h D) 9 h E) jiná odpověď

12.2)

Po naplnění 6 nádrží se přidá druhé stejné čerpadlo. Celkem plní 12 nádrží. Kolik to trvá?

A) 4 h B) 4,5 h C) 5 h D) 6 h E) jiná odpověď

12.3)

Dvě stejná čerpadla plní 15 nádrží od začátku. Jak dlouho?

A) 3 h B) 3,5 h C) 4 h D) 4,5 h E) 5 h

1 Zjistíme tempo čerpadla

Jedno čerpadlo: 3 nádrže za 2 hodiny.

To si zapamatujeme jako základní „rychlost".

2 Příklad 12.1 — 12 nádrží jedním čerpadlem

12 nádrží je 4× víc než 3 nádrže:

12 : 3 = 4×

Takže to trvá 4× déle:

2 · 4 = 8 hodin → odpověď C

3 Příklad 12.2 — Přidání druhého čerpadla po 6 nádržích

Prvních 6 nádrží — jedno čerpadlo. 6 je 2× víc než 3:

2 · 2 = 4 hodiny

Zbývajících 6 nádrží — dvě čerpadla (dvojnásobné tempo). Jedním by to trvalo 4 h, dvěma:

4 : 2 = 2 hodiny

Celkem: 4 + 2 = 6 hodin → odpověď D

4 Příklad 12.3 — Dvě čerpadla na 15 nádrží

Jedno čerpadlo na 15 nádrží: 15 : 3 = 5×, takže 2 · 5 = 10 hodin.

Dvě čerpadla pracují dvakrát rychleji:

10 : 2 = 5 hodin → odpověď E

✅ Výsledek

12.1) C — 8 h 12.2) D — 6 h 12.3) E — 5 h

💡 Tip pro CERMAT

Společná práce — dvě stejná čerpadla = dvojnásobné tempo = poloviční čas
Pozor u 12.2: čerpadla se nepřidají od začátku! Musíš rozdělit úlohu na dvě části.
Vždy si nejdřív zjisti „tempo" (kolik za kolik) a pak násobíš/dělíš.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 12 (3 body)

Dělník vyrobí 1 200 součástek za 3 hodiny.

12.1)

Za jak dlouho vyrobí 4 000 součástek?

A) 8 h B) 9 h C) 10 h D) 11 h E) jiná odpověď

12.2)

12 000 součástek: první polovinu sám, druhou se spolupracovníkem (stejné tempo). Jak dlouho celkem?

A) 20 h B) 20,5 h C) 21 h D) 21,5 h E) 22,5 h

12.3)

Dva dělníci za 9 hodin. Druhý má poloviční tempo. Kolik součástek vyrobí dohromady?

A) 3 600 B) 4 800 C) 5 000 D) 5 400 E) jiná odpověď

1 Zjistíme tempo dělníka

Dělník vyrobí 1 200 součástek za 3 hodiny.

Za 1 hodinu: 1 200 : 3 = 400 součástek/hod

2 Příklad 12.1 — 4 000 součástek

4 000 : 400 = 10 hodin → odpověď C

3 Příklad 12.2 — Polovina sám, polovina ve dvou

Polovina z 12 000 = 6 000 součástek.

Sám (400/hod):

6 000 : 400 = 15 hodin

Ve dvou (400 + 400 = 800/hod):

6 000 : 800 = 7,5 hodiny

Celkem: 15 + 7,5 = 22,5 hodiny → odpověď E

4 Příklad 12.3 — Dva dělníci, jeden pomalejší

1. dělník: 400 součástek/hod, za 9 hodin:

9 · 400 = 3 600

2. dělník má poloviční tempo: 400 : 2 = 200/hod, za 9 hodin:

9 · 200 = 1 800

Celkem: 3 600 + 1 800 = 5 400 → odpověď D

✅ Výsledek

12.1) C — 10 h 12.2) E — 22,5 h 12.3) D — 5 400

💡 Tip pro CERMAT

Vždy si nejdřív spočítej tempo za 1 hodinu — pak násobíš a dělíš snadno.
Poloviční tempo = za stejný čas vyrobí polovinu. Sčítej tempa, ne časy!
U 12.2 pozor: nejdřív pracuje sám, pak ve dvou — rozděl na dvě části.

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Slovní úlohy

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

Přečti zadání 2× — najdi, co přesně se ptá (kolikrát? kolik? jaký součet?)
Technika dílků: rozděl celek na stejné části podle zlomku nebo poměru
"O polovinu více" = 3/2 původního, ne 1/2!
U peněz: sleduj příjmy (+) a výdaje (−) krok za krokem
Společná práce: sčítej tempa (kolik za hodinu), ne časy!

⚠️ Typické chytáky

"O 72 Kč dražší" ≠ „stojí 72 Kč" — rozdíl se dělí na 2 části (jednu přidáš, druhou odebereš)
"O třetinu méně" = odečti třetinu z původního počtu (12 − 4 = 8, ne 12 : 3 = 4)
Společná práce: přidání pracovníka uprostřed — rozděl úlohu na dvě části!
Pozor na jednotky: koruny, kilogramy, hodiny — nepomíchej je!

❌ Nejčastější chyby

Zaměnit "kolikrát" (dělení) a "o kolik" (odčítání)
Špatný počet dílků — pozorně si rozmysli, kolik dílků je celek
U peněz zapomenout na jednu operaci (příjem nebo výdaj)
U společné práce sečíst časy místo temp

📝 Slovní úlohy

🔑 Jak řešit slovní úlohy

🎯 Rady pro CERMAT: Slovní úlohy