← Zpět na rozcestník

🧊 Prostorová představivost

Rotace, zrcadlení a krychle — co vidíš a co ne?

🔑 Jak na prostorové úlohy

  1. Rotace = otáčení (vzor se zachová, jen se otočí)
  2. Zrcadlení = převrácení (jako v zrcadle — mění se!)
  3. U krychlí: vnitřní kostky = (n−2)³
Procvičuj příklady z přijímaček:
📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 10 (2 body)
Je dáno 5 čtverců (A–E) rozdělených úhlopříčkami na trojúhelníky (bílé, šedé, černé).
Který čtverec logicky nepatří mezi ostatní?
Zadání
1 Co mají obrázky společného?

Všechny čtverce jsou rozdělené úhlopříčkami na 4 trojúhelníky. Některé trojúhelníky jsou bílé, jiné šedé a jiné černé.

Zkus si všimnout: dají se některé obrázky získat otočením jiného?

2 Zkusíme otáčet

Vezmeme obrázek A a otáčíme ho:

  • Otočíme o 90° → získáme jiný ze čtverců
  • Otočíme o 180° → získáme další
  • Otočíme o 270° → získáme další

Takto se dá získat většina obrázků otáčením — kromě jednoho!

3 Který nepatří?

Čtverec C nejde získat otáčením žádného z ostatních. Abychom získali C, museli bychom obrázek překlopit (zrcadlit) — jako bychom se dívali do zrcadla.

Rotací = otáčením v rovině získáme A, B, D, E navzájem. Ale C vyžaduje zrcadlení — a to je jiná operace!

✅ Výsledek
C
💡 Tip pro CERMAT

Zkus si obrázky otáčet v hlavě o 90° — co jde otočit, je stejné. Co se musí převrátit (zrcadlit), nepatří!

  • Rotace = otáčíš a vzor zůstává stejný
  • Zrcadlení = překlápíš a vzor se změní (levá/pravá strana)
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení
📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 10 (2 body)
Dřevěná krychle 4×4×4 je natřena modrou barvou ze všech stran. Potom je rozřezána na 64 maličkých krychliček.
Kolik krychliček nemá žádnou modrou stranu?
Zadání
1 Představ si velkou krychli

Máme krychli 4×4×4. Celá je natřená modře. Když ji rozřežeme, získáme 64 maličkých krychliček.

Některé krychličky jsou na povrchu (mají modrou barvu), jiné jsou schované uvnitř a nemají žádnou modrou stranu.

2 Kde jsou schované krychličky?

Schované krychličky = ty, které se nedotýkají povrchu velké krychle. Jsou úplně uvnitř.

Představ si to jako krabici čokoládových bonbónů. Povrchové bonbóny mají obal (modří barvu). Ty uvnitř žádný obal nemají.

3 Použijeme vzorec (n−2)³

Vnitřní krychličky tvoří menší krychli uvnitř. Stačí z každé strany „oloupit" jednu vrstvu:

Vnitřní krychle: (4 − 2) × (4 − 2) × (4 − 2)
= 2 × 2 × 2 = 8 krychliček

Odečteme 2, protože z každé strany odstraníme jednu vrstvu (levá + pravá, horní + spodní, přední + zadní).

✅ Výsledek
B) 8
💡 Tip pro CERMAT

Tohle je klasická „Cermatovina"! Zapamatuj si vzorec:

Vnitřní kostky = (n − 2)³
  • Krychle 3×3×3: (3−2)³ = 1³ = 1 krychlička uvnitř
  • Krychle 4×4×4: (4−2)³ = 2³ = 8 krychliček uvnitř
  • Krychle 5×5×5: (5−2)³ = 3³ = 27 krychliček uvnitř

Pozor: 4×4×4 má uvnitř 2×2×2, ne 3×3×3!

📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení
📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 10 (2 body)
Je dáno 5 útvarů (A–E) složených ze čtverečků a obdélníčků.
Který útvar logicky nepatří mezi ostatní?
Zadání
1 Porovnáme útvary

Všech 5 útvarů vypadá podobně — jsou složené ze stejných částí. Ale jeden z nich se od ostatních liší.

Zkusíme je otáčet v rovině (o 90°, 180°, 270°) a podíváme se, jestli z jednoho útvaru získáme ostatní.

2 Otáčíme a porovnáváme

Když vezmeme útvar A a otáčíme:

  • A otočené o 90° → získáme C
  • A otočené o 180° → získáme D
  • A otočené o 270° → získáme E

Útvary A, C, D, E jsou vzájemné rotace. Ale co B?

3 Útvar B nepatří

Útvar B nezískáme otáčením žádného z ostatních v rovině. Museli bychom ho zrcadlit — a to je jiná operace než rotace!

Ostatní 4 útvary (A, C, D, E) jsou jen otočené verze jednoho a toho samého tvaru.

✅ Výsledek
B
💡 Tip pro CERMAT
  • Vždy si vyzkoušej všechny otáčky: 90°, 180°, 270°.
  • Pokud útvar nejde získat žádnou rotací, nepatří mezi ostatní.
  • Pozor: zrcadlení (překlápění) není to samé jako rotace (otáčení)!
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení

🎯 Rady pro CERMAT: Prostorová představivost

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení
  • U rotací: otáčej obrázek v hlavě o 90°, 180°, 270°
  • U krychle: vnitřní kostky spočti jako (n−2)³
  • Zkus si to nakreslit — nákres pomůže víc než přemýšlení
  • U útvarů: nejdřív zkus otáčení v rovině, teprve pak překlápění
⚠️ Typické chytáky
  • Záměna rotace a zrcadlení — rotací zachováš orientaci, zrcadlením ne!
  • U krychlí zapomenutí na schované kostky uvnitř
  • Pozor: krychle 4×4×4 má uvnitř 2×2×2, ne 3×3×3!
  • Při porovnávání obrázků se nenech zmást podobností — vždy otoč všemi směry
❌ Nejčastější chyby
  • Otočit obrázek jen v hlavě a nezkontrolovat všechny směry
  • Spočítat povrchové kostky místo vnitřních
  • Myslet si, že zrcadlový obraz je to samé jako otočený