Prostorová představivost

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 11 (2 body)

Ze stavebnice s dílky ve tvaru kvádru o rozměrech 6 cm × 4 cm × 4 cm chce Honza sestavit kvádr o rozměrech 8 cm × 12 cm × 16 cm.

Kolik dílků potřebuje?

Možnosti:

A) méně než 12 B) 12 C) 16 D) 32 E) více než 32

1 Jak se dílky vejdou v každém směru?

Máme dílky 6 × 4 × 4 cm a chceme sestavit kvádr 8 × 12 × 16 cm.

Spočítáme, kolik dílků se vejde v každém rozměru:

V prvním směru: 12 : 6 = 2 dílky
V druhém směru: 8 : 4 = 2 dílky
V třetím směru: 16 : 4 = 4 dílky

2 Celkový počet dílků

Teď vynásobíme všechny tři směry:

2 · 2 · 4 = 16 dílků

Honza potřebuje 16 dílků.

✅ Výsledek

C) 16 dílků

💡 Tip pro CERMAT

U skládání kvádrů vždy:

Vyděl rozměry velkého kvádru rozměry malého dílku
Vynásob počty ve všech třech směrech
Pozor: rozměry se můžou „otáčet" — dílek 6×4×4 se vejde do 12 jinak než do 8

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 12 (2 body)

Ze stejných dílků o rozměrech 6 cm × 4 cm × 4 cm chce Honza sestavit nejmenší možnou krychli.

Kolik dílků bude potřebovat?

Možnosti:

A) méně než 6 B) 6 C) 12 D) 18 E) více než 24

1 Jaká je nejmenší možná krychle?

Krychle má všechny strany stejně dlouhé.

Potřebujeme číslo, které je dělitelné 6, 4 i 4 (rozměry dílku).

Hledáme nejmenší společný násobek (NSN) čísel 6 a 4:

NSN(6, 4) = 12 cm

Nejmenší krychle bude mít hranu 12 cm.

2 Kolik dílků se vejde?

Teď spočítáme, kolik dílků 6 × 4 × 4 cm se vejde do krychle 12 × 12 × 12 cm:

V prvním směru: 12 : 6 = 2 dílky
V druhém směru: 12 : 4 = 3 dílky
V třetím směru: 12 : 4 = 3 dílky

Celkem:

2 · 3 · 3 = 18 dílků

✅ Výsledek

D) 18 dílků

💡 Tip pro CERMAT

U nejmenší krychle:

Najdi NSN (nejmenší společný násobek) všech rozměrů dílku
To je délka hrany krychle
Pak spočítej, kolik dílků se vejde

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 11 (2 body)

Na obrázku je krychle, na které jsou vyznačeny úsečky a, b, c, d a pátá úsečka délky 8 cm.

Určete, které tvrzení je chybné:

Možnosti:

A) a = c
B) b = d
C) b = 8 cm
D) c < 8 cm
E) d > 8 cm

1 Co víme o krychli?

V krychli rozeznáváme tři typy úseček:

Hrana krychle (strana čtverce)
Stěnová úhlopříčka (úhlopříčka jedné stěny — čtverce)
Tělesová úhlopříčka (vede uvnitř celé krychle)

Platí: hrana < stěnová úhlopříčka < tělesová úhlopříčka

2 Identifikujme úsečky

Z obrázku vidíme, že pátá úsečka (8 cm) je stěnová úhlopříčka.

Úsečky a a c jsou hrany — v krychli jsou všechny hrany stejné.

a = c ✅ (tvrzení A je pravdivé)

Úsečky b a d jsou stěnové úhlopříčky — ty jsou také všechny stejné.

b = d = 8 cm ✅ (tvrzení B a C jsou pravdivá)

3 Které tvrzení je chybné?

Zkontrolujme zbývající tvrzení:

D) c < 8 cm

c je hrana, 8 cm je stěnová úhlopříčka. Hrana je kratší než stěnová úhlopříčka. ✅ Pravdivé!

E) d > 8 cm

d je stěnová úhlopříčka, stejně jako ta 8 cm dlouhá. Takže d = 8 cm, ne více! ❌

Tvrzení E je chybné.

✅ Výsledek

E) d > 8 cm je chybné

⚠️ CERMAT chyták

Na krychli jsou tři typy úseček:

12 hran (všechny stejné)
12 stěnových úhlopříček (všechny stejné)
4 tělesové úhlopříčky (všechny stejné)

CERMAT často testuje, jestli víš, že hrana < stěnová úhlopříčka < tělesová úhlopříčka.

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 12 (2 body)

Na obrázku je stavba sestavená z válců. Jsou zobrazeny pohledy zepředu a shora.

Který obrázek znázorňuje pohled na stavbu zprava?

Možnosti: A), B), C), D), E)

1 Analyzujeme pohled shora

Z pohledu shora vidíme rozmístění válců:

Napravo jsou dva světle šedé válce
Ve středu je bílý válec
Pod bílým válcem je natočený tmavě šedý válec
Ve spodním patře uprostřed není nic

2 Co musí pohled zprava ukazovat?

Když se díváme zprava:

Dva světle šedé válce napravo → vidíme jako dva obdélníky
Spodní patro uprostřed je prázdné → vidíme mezeru

Můžeme vyloučit:

A) a B) — mají jen jeden obdélník vpravo ❌
D) — nemá mezeru ve spodním patře uprostřed ❌

3 Volíme správnou možnost

Zbývají možnosti C) a E).

Z pohledu shora vidíme, že ve spodním patře uprostřed nic není — tam musí být mezera.

Odpovídá tomu možnost E) — dva obdélníky nahoře vpravo, mezera dole uprostřed.

✅ Výsledek

E)

💡 Tip pro CERMAT

U pohledů na stavbu:

Vždy si představ, jak vypadá stavba z dané strany
Pohled shora ukazuje rozmístění (co je kde)
Pohled zepředu/zprava ukazuje výšku (kolik pater)
Vylučuj nesprávné možnosti — to je nejrychlejší způsob

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 11 (2 body)

Děti stavěly krychle ze stavebnice s kuličkami a tyčkami.

Denisa postavila nejmenší krychli (2 × 2 × 2) — měla 8 kuliček a 12 tyček.

Emil postavil druhou nejmenší krychli (3 × 3 × 3) — měl 27 kuliček a 54 tyček.

Filip postavil třetí nejmenší krychli.

Kolik kuliček měl Filip?

Možnosti:

A) 36 B) 48 C) 56 D) 64 E) jiný počet

1 Jaká je třetí nejmenší krychle?

Denisa: krychle 2 × 2 × 2

Emil: krychle 3 × 3 × 3

Filip: krychle 4 × 4 × 4

2 Kolik kuliček má krychle 4 × 4 × 4?

Kuličky jsou umístěny ve vrcholech kostky ze stavebnice.

V každém směru je 4 kuličky (nikoli 3 — to jsou tyčky mezi nimi!).

Kuličky = 4 · 4 · 4 = 64

✅ Výsledek

D) 64 kuliček

⚠️ CERMAT chyták

Pozor na rozdíl:

Kuličky jsou ve vrcholech — krychle 4×4×4 má 4·4·4 = 64 kuliček
Tyčky jsou mezi kuličkami — krychle 4×4×4 má na každé hraně 3 tyčky (mezi 4 kuličkami)

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 12 (2 body)

Kolik tyček leží na hranách Filipovy krychle (4 × 4 × 4)?

Možnosti:

A) méně než 36 B) 36 C) 40 D) 48 E) více než 48

1 Kolik hran má krychle?

Krychle má 12 hran (to je u každé krychle stejné).

2 Kolik tyček je na každé hraně?

Filipova krychle je 4 × 4 × 4 — to znamená, že na každé hraně je 4 kuličky.

Mezi 4 kuličkami jsou 3 tyčky:

kulička—tyčka—kulička—tyčka—kulička—tyčka—kulička

Na jedné hraně = 3 tyčky

3 Celkový počet tyček

Krychle má 12 hran, na každé jsou 3 tyčky:

12 · 3 = 36 tyček

✅ Výsledek

B) 36 tyček

💡 Tip pro CERMAT

U stavebnice s kuličkami a tyčkami:

Krychle N × N × N má N·N·N kuliček (vrcholy)
Na každé hraně je (N−1) tyček (mezi N kuličkami)
Krychle má vždy 12 hran
Celkem tyček = 12 · (N−1)

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 13 (5 bodů)

Na obrázku je těleso sestavené ze šesti válců.

K jednotlivým pohledům přiřaďte správný obrázek:

13.1) pohled zezadu

13.2) pohled zleva

13.3) pohled zespodu

Možnosti: A), B), C), D), E), F)

1 Pohled 13.1 — zezadu

Když se díváme zezadu, vidíme:

Dva válce vlevo dole (vidíme je jako kroužky)

To odpovídá obrázku A) — dva kroužky vlevo dole.

2 Pohled 13.2 — zleva

Když se díváme zleva, vidíme:

Obdélník nahoře (horizontální válec)
Kruhy vlevo a vpravo (dva vertikální válce vedle sebe)

To odpovídá obrázku C).

3 Pohled 13.3 — zespodu

Když se díváme zespodu, vidíme:

Dva obdélníky vedle sebe (dva horizontální válce)

To odpovídá obrázku E).

✅ Výsledek

13.1 → A) 13.2 → C) 13.3 → E)

💡 Tip pro CERMAT

U pohledů na válce:

Válec z boku vypadá jako obdélník
Válec ze strany podstavy vypadá jako kruh
Představ si, že stojíš na dané straně a díváš se — co vidíš?

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Prostorová představivost

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

U skládání kvádrů: vyděl rozměry v každém směru, pak vynásob
Pro nejmenší krychli: najdi NSN (nejmenší společný násobek) rozměrů dílku
U pohledů: představ si, jak stavbu vidíš z dané strany — co je vidět, co je skryté?
Vylučovací metoda: u pohledů je nejrychlejší vyloučit nesprávné možnosti

⚠️ Typické chytáky

Záměna pohledů zprava/zleva — jsou zrcadlové!
Skryté dílky uvnitř — nejsou vidět z pohledů, ale počítají se do celkového počtu
Stěnová úhlopříčka ≠ hrana — v krychli jsou různé!
Kuličky vs. tyčky: krychle N×N×N má N³ kuliček, ale jen 12·(N−1) tyček na hranách

❌ Nejčastější chyby

Zapomenout na vnitřní tyčky/dílky — ty nejsou vidět, ale jsou tam!
Záměna hran a stěnových úhlopříček na krychli
U stavebnice: zaměnit počet kuliček (vrcholy) a tyček (hrany)
Nesprávně určit NSN — pozor, NSN(6, 4) = 12, ne 24!

🧊 Prostorová představivost

🔑 Prostorová představivost

🎯 Rady pro CERMAT: Prostorová představivost