← Zpět na rozcestník

✏️ Geometrické konstrukce

Rýsujeme s kružítkem a pravítkem — hledej VŠECHNA řešení!

🔑 Jak na geometrické konstrukce?

  1. Přečti si zadání 2× — najdi klíčová slova (střed, kružnice, kolmice)
  2. Nakresli, co znáš
  3. Hledej VŠECHNA řešení (většinou 2!)
  4. Nezapomeň označit vrcholy písmeny
Procvičuj příklady z přijímaček:
📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 7 (6 bodú)
7.1) Trojúhelník PQR
V rovině jsou dány body P, S a přímka q. P je vrchol trojúhelníku PQR. Q leží na přímce q. P a Q leží na téže kružnici se středem S. S je střed strany QR. Sestrojte Q a R.
7.2) Čtverec ABCD
V rovině jsou dány body A, T, V a přímka p (T, V leží na p). A je vrchol čtverce ABCD. Přímka p protíná stranu AB v bodě T a stranu CD v bodě V. Sestrojte B, C, D.
Zadání 7.1
Zadání 7.2
Zadání 7.3
1 7.1: Co víme o trojúhelníku PQR?

Projdeme si všechny informace ze zadání:

  1. Bod P — je dán, je to vrchol trojúhelníku
  2. Bod S — je dán, je to střed kružnice A ZÁROVEŇ střed strany QR
  3. Přímka q — na ní leží bod Q
  4. P a Q leží na stejné kružnici se středem S → |SP| = |SQ|

Klíčové slovní spojení: „střed strany QR“ znamená, že S leží přesně uprostřed mezi Q a R.

2 7.1: Najdeme bod Q

P a Q leží na kružnici se středem S. Známe S a P, takže známe poloměr:

r = |SP|
  1. Narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem |SP|
  2. Q leží na přímce q A ZÁROVEŇ na kružnici → prúsečíky kružnice s přímkou q
  3. Kružnice protíná přímku ve 2 bodech → Q1 a Q2

Už máme dva možné body Q → 2 řešení!

3 7.1: Najdeme bod R

S je střed strany QR — to znamená, že R leží na opačné straně od Q, stejně daleko od S:

  1. R leží na přímce QS, na druhé straně od Q
  2. Vzdálenost |SR| = |SQ| (S je střed)
  3. Prostě od S naměříme vzdálenost |SQ| na druhou stranu → bod R

Pro každé Q dostaneme jedno R → celkem 2 řešení.

4 7.2: Čtverec ABCD — co víme?

Máme dané:

  1. Bod A — vrchol čtverce
  2. Body T, V na přímce p: T leží na AB, V leží na CD

Přímka AB prochází bodem A a bodem T → rovnou máme směr strany AB!

Strana CD je rovnoběžná s AB (u čtverce jsou protější strany rovnoběžné). A prochází bodem V.

5 7.2: Sestrojení čtverce
  1. Přímka AB prochází body A a T → narýsujeme ji
  2. Bodem V vedeme rovnoběžku s AB → to je přímka, na které leží CD
  3. Z bodu A sestrojíme kolmici k AB → přímka strany AD
  4. Prúsečík kolmice s přímkou CD je bod D
  5. |AD| je strana čtverce → na přímce AB naměříme |AB| = |AD| → bod B
  6. Z B vedeme kolmici → prúsečík s přímkou CD je bod C

Podle polohy bodú múže vycházet 1–2 řešení.

✅ Výsledek
7.1) 2 řešení    7.2) viz obrázek
💡 Tip pro CERMAT

„Střed strany QR“ znamená, že S leží přesně uprostřed — stačí naměřit stejnou vzdálenost na druhou stranu a máš druhý konec!

  • Kružnice + přímka = většinou 2 prúsečíky = 2 řešení
  • U čtverce: protější strany jsou rovnoběžné, sousední jsou kolmé
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení 7.1 Řešení 7.2
📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 7 (6 bodú)
7.1) Obdélník ABCD
Body A, O a přímka p procházející bodem O. A je vrchol obdélníku ABCD. C leží na přímce p. O je střed některé strany. Sestrojte B, C, D. Všechna řešení.
7.2) Rovnostranný trojúhelník PQR
Body P, S a přímka m. S je střed kružnice k (r = 5 cm). P je vrchol rovnostranného trojúhelníku PQR. Další vrchol leží na m i na k. Třetí vrchol leží uvnitř k. Sestrojte Q, R.
Zadání 7.1
Zadání 7.2
Zadání 7.3
1 7.1: Obdélník ABCD — co víme?

Projdeme si informace:

  1. Bod A — vrchol obdélníku, je dán
  2. Bod O — střed některé strany obdélníku
  3. Přímka p prochází bodem O — na ní leží bod C

O je střed „některé strany“ — to znamená, že múže být středem rúzných stran. Každá varianta dá jiné řešení!

2 7.1: Postup — zkoušíme varianty pro O

O múže být středem strany, na které leží A (např. AB nebo AD), nebo strany, na které A neleží (např. BC nebo CD).

  1. Pokud O je střed AB: bod B leží souměrně s A podle O → |AO| = |OB|
  2. Pokud O je střed AD: bod D leží souměrně s A podle O
  3. V obou případech pak C hledáme jako prúsečík s přímkou p

Každá varianta dá jinak orientovaný obdélník → 2 řešení.

3 7.2: Rovnostranný trojúhelník — všechny strany = 5 cm?

Pozor! Kružnice k má poloměr 5 cm, ale to neznamená, že strany trojúhelníku jsou 5 cm. Stranu neznáme — víme jen, že všechny tři jsou stejně dlouhé.

Co víme:

  1. P — vrchol trojúhelníku, je dán
  2. Další vrchol leží na přímce m a zároveň na kružnici k
  3. Třetí vrchol leží uvnitř kružnice k
4 7.2: Postup konstrukce
  1. Narýsujeme kružnici k se středem S a r = 5 cm
  2. Hledáme bod Q (nebo R), který leží na m i na k → prúsečíky přímky m s kružnicí k
  3. Pro každý takový bod sestrojíme rovnostranný trojúhelník s vrcholem P
  4. Kružnici se středem v nalezeném bodě a poloměrem |P − nalezený bod| → prúsečík dá třetí vrchol
  5. Třetí vrchol musí ležet uvnitř k — to nám pomúže vybrat správné řešení

Vychází 2 řešení.

✅ Výsledek
7.1) 2 řešení    7.2) 2 řešení
💡 Tip pro CERMAT

Když zadání říká „střed některé strany“, musíš vyzkoušet všechny možnosti! Každá varianta múže dát jiné řešení.

  • Rovnostranný trojúhelník: všechny strany stejně dlouhé → stačí znát jednu stranu
  • Podmínka „uvnitř kružnice“ ti pomúže vyřadit nesprávná řešení
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení 7.1 Řešení 7.2
📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 7 (6 bodú)
7.1) Trojúhelník KLM
Body K, S a přímka q procházející bodem K. Všechny vrcholy trojúhelníku KLM leží na kružnici se středem S. Druhý vrchol leží na q, třetí na přímce s kolmé na q procházející bodem S. Sestrojte L, M.
7.2) Obdélník ABCD
Body A, X a rovnoběžky c, p. A je vrchol obdélníku ABCD. X leží uvnitř strany AB. C leží na přímce c, další vrchol na přímce p. Sestrojte B, C, D.
Zadání 7.1
Zadání 7.2
1 7.1: Trojúhelník KLM na kružnici — co víme?

Všechny tři vrcholy leží na kružnici se středem S (opsaná kružnice). Známe K a S, takže:

r = |SK|  (poloměr kružnice)
  1. K leží na kružnici a na přímce q
  2. L leží na kružnici a na přímce q (druhý prúsečík!)
  3. M leží na kružnici a na přímce s (kolmé na q, procházející S)
2 7.1: Postup konstrukce
  1. Narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem |SK|
  2. Prúsečíky kružnice s přímkou q → jeden je K, druhý je bod L
  3. Bodem S vedeme kolmici s na přímku q
  4. Prúsečíky kružnice s přímkou s → dva možné body M

M múže být „nahoře“ nebo „dole“ → 2 řešení!

3 7.2: Obdélník ABCD — využijeme bod X

X leží uvnitř strany AB → přímka AB prochází body A a X. To nám dává směr strany AB!

  1. Narýsujeme přímku AX → na ní leží strana AB
  2. Z bodu A vedeme kolmici k AB → směr strany AD
  3. Prúsečík s přímkou p (nebo c) → další vrcholy
  4. C leží na přímce c → sestrojíme rovnoběžku s AB procházející nalezeným bodem

Podle vzájemné polohy přímek vychází 2 řešení.

✅ Výsledek
7.1) 2 řešení    7.2) 2 řešení
💡 Tip pro CERMAT

Když vidíš v zadání „přímka kolmá“, použij trojúhelník s pravítkem. A pamatuj:

  • Kružnice protíná přímku většinou ve 2 bodech
  • Když jeden prúsečík už znáš (např. K), druhý je hledaný bod!
  • Bod „uvnitř strany“ ti určuje směr té strany
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení 7.1 Řešení 7.2
📋 Zadání — 2. náhradní termín, Úloha 7 (6 bodú)
7.1) Obdélník ABCD
Přímky a, b se protínají v bodě C. Na přímce b leží bod M. C je vrchol obdélníku ABCD. A leží na přímce a. AM = 2 × CM. B leží na přímce b. Sestrojte A, B, D.
7.2) Trojúhelník FGH
Bod F a rúznoběžné přímky g, h. F je vrchol trojúhelníku FGH. G leží na g, H leží na h. FG = GH = 5 cm. Sestrojte G, H.
Zadání 7.1
Zadání 7.2
1 7.1: Obdélník ABCD — co víme?

Přímky a a b se protínají v bodě C (vrchol obdélníku). Dále:

  1. A leží na přímce a
  2. B leží na přímce b
  3. M je dán na přímce b a platí: AM = 2 × CM

Podmínka AM = 2 × CM znamená, že A je od M dvakrát dál než C. Tady nám pomúže kružnice!

2 7.1: Hledáme bod A

Vzdálenost |CM| známe (změříme). AM = 2 × CM, takže:

|AM| = 2 × |CM|
  1. Narýsujeme kružnici se středem M a poloměrem 2 × |CM|
  2. A leží na přímce a A ZÁROVEŇ na kružnici → prúsečíky
  3. Kružnice protíná přímku a ve 2 bodech → A1 a A2

Dva možné body A → 2 řešení!

3 7.1: Sestrojíme celý obdélník

Pro každý bod A:

  1. Strana AB je kolmá na stranu AD (pravý úhel u A)
  2. CB leží na přímce b → B = prúsečík kolmice z A na směr AD s přímkou b
  3. D sestrojíme pomocí rovnoběžek (AD ∥ BC, CD ∥ AB)
4 7.2: Trojúhelník FGH — dvě strany = 5 cm

FG = GH = 5 cm (rovnoramenný trojúhelník z pohledu bodu G). Postup:

  1. Narýsujeme kružnici z F s poloměrem 5 cm
  2. G leží na přímce g a na kružnici → prúsečíky = možné body G
  3. Pro každé G: narýsujeme kružnici z G s poloměrem 5 cm
  4. H leží na přímce h a na této kružnici → prúsečíky = možné body H

Múže vycházet více řešení — záleží na poloze přímek.

✅ Výsledek
7.1) 2 řešení    7.2) více řešení (závisí na poloze přímek)
⚠️ Pozor — dúležité pro CERMAT!

Podmínka AM = 2 × CM znamená, že bod A leží na kružnici se středem M (ne se středem C!). Dávej pozor, který bod je střed.

  • AM = 2 × CM → kružnice (M; 2·|CM|)
  • FG = GH = 5 cm → dvě kružnice postupně (nejdřív z F, pak z G)
  • Vždy nakonec napiš: „Úloha má X řešení“
📝 Oficiální řešení CERMAT
Řešení 7.1 Řešení 7.2

🎯 Rady pro CERMAT: Geometrické konstrukce

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení
  • Vždy hledej VŠECHNA řešení — u CERMATu jich bývá většinou 2
  • Tvé hlavní nástroje: kružítko (kružnice = všechny body ve stejné vzdálenosti) a pravítko (přímky, kolmice, rovnoběžky)
  • „Střed strany“ = bod uprostřed → naměř stejnou vzdálenost na druhou stranu
  • U obdélníku: protější strany rovnoběžné, sousední kolmé
  • Označ všechny vrcholy písmeny — CERMAT chce přesné označení
⚠️ Typické chytáky
  • Zapomenout na druhé řešení je chyba č. 1! Kružnice protíná přímku ve 2 bodech → 2 řešení
  • „Střed strany“ znamená, že bod leží přesně uprostřed — ne „někde na straně“
  • Podmínka AM = 2 × CM: dávej pozor, který bod je střed kružnice!
  • „Některé strany“ = více variant → každá dává jiné řešení
❌ Nejčastější chyby
  • Najít jen jedno řešení a zapomenout na druhé (prohozené body)
  • Nezapsat postup konstrukce — CERMAT dává body za zápis, ne jen za obrázek!
  • Zapomenout ověřit, že body leží na správných přímkách
  • Nepoužít strukturu: Dáno → Postup → Závěr
  • Chybějící závěr: „Úloha má X řešení“ — bez něj přijdeš o body