Každá kostka má provrtaný otvor jedním ze tří směrů. Podle obrázku poznáme:
- Světlý otvor (bílý) = vidíme skrz naskrz, žádná kostka ho neblokuje
- Tmavý otvor (černý) = otvor je uzavřený jinou kostkou za ním
Trik: Podívej se na kostku a představ si, že se díváš skrz otvor. Kam směřuje?
Těleso 13.1 má tvar písmene J — 3 kostky v řadě dole + 1 kostka nahoře vpravo.
Podíváme se na každou kostku:
- Kostka s bílým otvorem (světlá) = vidíme skrz → za ní je další kostka se stejným směrem, společně tvoří 3P
- Kostka ve 2. patře musí být typu H, protože její otvor směřuje shora dolů → 2H
- Zadní levá kostka může být jen B → 1B
Těleso 13.2 má tvar písmene L. Začneme opět kostkou s bílým otvorem:
- Kostka s bílým otvorem společně s kostkou nalevo tvoří 2B
- Kostka vepředu a vzadu tvoří 2P
- Na zbývající kostky zbývá pouze 2H
Těleso 13.3 má tvar písmene C (či obrys čtverce s dírou):
- Typem H jsou 3 kostky — jedna s bílým otvorem, jedna s černým a kostka pod ní → 3H
- Typem P je pouze kostka zadní spodní pravá → 1P
- Zbytek tvoří 2B
- Začni vždy kostkou s bílým otvorem — ta ti prozradí směr, protože skrz ni vidíš naskrz.
- Černý otvor = za kostkou je další kostka, která ho blokuje. Počítej, kolik kostek je v řadě.
- Na konci si ověř, že součet P + B + H = celkový počet kostek v tělese!
Každý krychlíček má 6 stěn. Když je obarvil modrou, obarví se jen ty stěny, které jsou na povrchu. Stěny, které byly přilepené k jinému krychlíčku, zůstaly bílé.
Počet modrých stěn závisí na tom, s kolika sousedy daný krychlíček sousedí:
| Počet sousedů | Bílé stěny | Modré stěny |
|---|---|---|
| 0 sousedů | 0 | 6 |
| 1 soused | 1 | 5 |
| 2 sousedi | 2 | 4 |
| 3 sousedi | 3 | 3 |
| 4 sousedi | 4 | 2 |
4 modré stěny = 2 bílé stěny = krychlíček sousedí právě se 2 dalšími krychlíčky.
Podíváme se na písmeno E a označíme každý krychlíček počtem jeho sousedů:
- Koncové krychlíčky (konce ramen písmene E) — mají jen 1 souseda → 5 modrých
- Prostřední krychlíček vlevo — sousedí se 3 dalšími (nahoře, dole, vpravo) → 3 modré
- Všechny ostatní — sousedí právě se 2 dalšími → 4 modré stěny ✔
Nesplňují podmínku: 3 koncové krychlíčky (1 soused) + 1 prostřední vlevo (3 sousedi) = 4 kusy.
Hledáme krychlíček, který má 3 modré + 3 bílé stěny (to je jediná možnost, jak mít stejný počet, protože 6 : 2 = 3).
3 bílé stěny = sousedí se 3 dalšími krychlíčky. Který krychlíček v písmenu E má 3 sousedy?
Jedině prostřední krychlíček v levém sloupci — ten sousedí s krychlíčkem nad sebou, pod sebou a vpravo.
- Slepené stěny = bílé — tohle je základní pravidlo! Barva se na ně nedostane.
- Počet modrých stěn = 6 mínus počet sousedů. Stačí spočítat, s kolika krychlíčky daný sousedí.
- U písmene E si nakresli schéma shora a ke každému krychlíčku napiš počet sousedů.
- Dávej pozor na slovo „právě“ — znamená přesně 4, ne „alespoň 4“!
Chceme sestavit krychli. Nejmenší krychle, do které se vejde Petrova stavba, je 3 × 3 × 3:
Petr má 13 krychlíčků, každá stavba A–E má 14:
Správně — dohromady to dává přesně 27. Musíme najít stavbu, která přesně doplňuje Petrovu stavbu do krychle 3 × 3 × 3.
Podíváme se na Petrovu stavbu a zkusíme každou možnost:
- Stavba B — vyřadíme! Pokud vrchní dvě krychle napojíme na krychli ve vrchním patře Petrovy stavby, dojde ke „kolizi“ (překrývání).
- Stavby A, C, E — ze stejných důvodů vyřadíme (jedná se mimochodem o shodné stavby se stavbou B).
- Stavba D — zapadne přesně! Žádná kolize, doplňuje všechna volná místa.
Stavba D má tvar, který se přesně „zamkne“ do volných míst v Petrově stavbě. Představ si to jako skládání dvou dílů puzzle do krychle.
- Nejdřív spočítej, jak velká krychle vznikne: 13 + 14 = 27 = 3³.
- Použij vylučovací metodu — hledej kolize (místa, kde by se dvě kostky překrývaly).
- Zkus si v hlavě stavbu „otevřít“ po patrech — 1. patro (9 kostek), 2. patro (9 kostek), 3. patro (9 kostek).
Máme dva pohledy: zepředu a zprava. Musíme najít maximální počet krychlíčků, který odpovídá oběma pohledům najednou.
Strategie ve 2 krocích:
- Podle pohledu zepředu postavíme největší možnou stavbu (není omezená do hloubky).
- Podle pohledu zprava některé krychlíčky ubereme (nesmí přesáhnout profil zprava).
Pohled zepředu je tvar L. Pohled zprava je jiný tvar (vysoký s příčkou).
Nejdřív postavíme stavbu jen podle pohledu zepředu (co nejvíc kostek do hloubky). Pak ubereme kostky, které neodpovídají pohledu zprava.
Pohled zepředu je opět tvar L. Pohled zprava je širší tvar (H).
Stejný postup — pohled zprava umožňuje více kostek do hloubky:
Pohled zepředu je L, pohled zprava je J.
- Maximální počet = začni pohledem zepředu, „prodluž“ každý sloupec do hloubky co nejvíc, a pak ořízni podle pohledu zprava.
- Nakresli si půdorys (pohled shora) — do každého políčka napiš výšku sloupce.
- Výška sloupce = minimum z toho, co říká pohled zepředu a pohled zprava pro danou pozici.
- Pohled shora: kruh (uvnitř šedý čtverec)
- Pohled zepředu: obdélník (uvnitř šedý trojúhelník)
Pohled shora ukazuje obrys kruhu. Která tělesa vypadají shora jako kruh?
Vnější těleso (průhledné sklo) musí být válec (krychle a kvádr vypadají shora jako čtverec/obdélník).
Šedý čtverec uvnitř kruhu → vnitřní těleso má shora čtvercový průřez. To je jehlan (čtvercová základna).
Pohled zepředu ukazuje obdélník (= válec zepředu) s trojúhelníkem uvnitř.
Sedí! Válec zepředu je obdélník a jehlan zepředu je trojúhelník.
Proč ne kužel? Kužel by shora vypadal jako kruh (ne čtverec), takže by uvnitř kruhu nebyl čtverec, ale opět kruh.
| Možnost | Pohled shora | Sedí? |
|---|---|---|
| A) krychle + kužel | čtverec + kruh | ✘ vnější není kruh |
| B) válec + jehlan | kruh + čtverec | ✔ sedí! |
| C) kvádr + jehlan | obdélník + čtverec | ✘ vnější není kruh |
| D) válec + kužel | kruh + kruh | ✘ vnitřní není čtverec |
| E) kužel + kvádr | kruh + obdélník | ✘ neodpovídá |
- Zapamatuj si pohledy základních těles: válec = shora kruh, zepředu obdélník; kužel = shora kruh, zepředu trojúhelník; jehlan = shora čtverec, zepředu trojúhelník.
- Každý pohled ti vyřadí některé možnosti — použij vylučovací metodu!
- Rozlišuj kužel vs. jehlan: kužel má kruhovou základnu, jehlan čtvercovou (nebo obecně mnohoúhelníkovou).
Když se díváš na stavbu zezadu, vidíš to samé jako zepředu, ale zrcadlově převráceně (levá a pravá strana se prohoď).
Navíc některé části stavby mohou být v zákrytu — to co vidíš zepředu, nemusíš vidět zezadu (a naopak).
Podíváme se na každou možnost:
- Možnost C ✘ — kvádr leží na špatné stěně (více na šířku než do výšky)
- Možnost B ✘ — zezadu by neměly být vidět oba kvádry najednou
- Možnost D ✘ — není vidět žádný kvádr, ale zezadu musí být vidět alespoň jeden
- Možnost E ✘ — neodpovídá tvaru stavby
V možnosti A vidíme zezadu jeden kvádr a 4 krychle (zbývající 2 krychle jsou v zákrytu za jinými).
Druhý kvádr je schovaný za stavbou — zezadu ho nevidíme.
- Pohled zezadu = zrcadlový obraz pohledu zepředu + změna zákrytů.
- Všímej si kvádrů — mají jinou velikost než krychle, což pomáhá vylučovat.
- Které kostky/kvádry jsou v zákrytu — za jinými díly stavby je nevidíš!
- Pokud si nejsi jistý/á, zkus si na papíře nakreslit půdorys a označit, co je kde.
🎯 Rady pro CERMAT: Prostorová představivost
Co si odnést z tohoto tématu
- Systematicky počítej stěny — každá krychle má 6 stěn, slepené se nepočítají
- Pohledy z různých stran — kresli si půdorys (shora), pohled zepředu a z boku
- Vylučovací metoda — u výběrových úloh vyřaď špatné možnosti
- Otáčej v hlavě — pohled zezadu = zrcadlový obraz pohledu zepředu
- Slepené stěny = bílé — barva se na ně nedostane! Počet modrých = 6 mínus počet sousedů
- Zákryty — co nevidíš zepředu, můžeš vidět zezadu (a naopak)
- Kužel vs. jehlan — kužel má kruhovou základnu (shora kruh), jehlan čtvercovou (shora čtverec)
- Slovo „právě“ — znamená přesně daný počet, ne „alespoň“
- Zapomenout, že pohled zezadu je zrcadlově převrácený (levá a pravá strana se prohoď)
- U barevných kostek nepočítat slepené stěny správně — vždy nakresli, s kým každý krychlíček sousedí
- U pohledů zepředu + zprava si neověřit obě podmínky najednou — stavba musí sedět oběma pohledům!
- U skládání do krychle zapomenout na kolize (místa, kde by se dvě kostky překrývaly)