Technika dílků — zlomky bez rovnic

📋 Zadání — 1. řádný termín, Úloha 2 (4 body)

Na číselné ose je 9 bodů oddělujících 8 stejných dílků. Body A, B, C, D jsou 4 čísla. V bodě C je číslo 48, které je trojnásobkem čísla v bodě B.

2.1) Určete číslo v bodě A.

2.2) Určete číslo v bodě D.

1 🔍 Kde leží body na ose?

Na ose je 9 bodů = 8 stejných dílků. Podle obrázku (zleva doprava):

..., A, ..., B, ..., ..., C (=48), ..., D, ..., ...

Důležitá informace: C = 48 a C = 3 × B (trojnásobek).

2 🧮 Najdeme číslo v bodě B

C je trojnásobek B, takže:

C = 3 × B → B = 48 : 3 = 16

3 📏 Jak velký je jeden dílek?

Mezi body B a C jsou 2 dílky. Rozdíl hodnot B a C nám řekne, kolik je 2 dílky:

2 dílky = 48 − 16 = 32

1 dílek = 32 : 2 = 16

Každý dílek na ose má hodnotu 16.

4 🎯 Dopočítáme A a D

Bod A je 3 dílky vlevo od C (= menší číslo):

A = 48 − 3 × 16 = 48 − 48 = 0

Bod D je 2 dílky vpravo od C (= větší číslo):

D = 48 + 2 × 16 = 48 + 32 = 80

✅ Výsledek

2.1) A = 0 2.2) D = 80

💡 Tip pro CERMAT

U číselné osy vždy najdi velikost jednoho dílku. Když znáš dvě hodnoty a počet dílků mezi nimi, stačí vydělit rozdíl počtem dílků. Pak se pohybuješ po ose přičítáním (doprava) nebo odčítáním (doleva).

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 2. řádný termín, Úloha 13 (5 bodů)

Hráči losují žetony na začátku, vyhrávají/prohrávají během hry. Přiřaďte správný počáteční počet žetonů.

13.1) Blanka: začala s 48 žetony, vyhrála 6, na konci měla třetinu z počátečních. Kolik prohrála?

13.2) Emil: na konci měl 52 žetonů, neprohrál žádné. Začal o 8 více než vyhrál. Kolik si vylosoval?

13.3) Ivana: vyhrála 18, prohrála 12. Na konci měla o šestinu více než na začátku. Kolik si vylosovala?

1 🎲 13.1 — Blanka

Blanka začala s 48 žetony, vyhrála 6 a na konci měla třetinu z počátečních.

Třetina z 48 — to je naše technika dílků!

Konec = 48 : 3 = 16 žetonů

Teď sestavíme rovnováhu: začátek + výhry − prohry = konec

48 + 6 − prohry = 16

Prohry = 48 + 6 − 16 = 38

2 🎲 13.2 — Emil

Emil na konci měl 52 žetonů, neprohrál žádné. Začal o 8 více než vyhrál.

Použijeme dílky! Výhra = 1 dílek, začátek = 1 dílek + 8.

Výhra: 1 = 1 dílek

Začátek: 1 = 1 dílek + 8

Konec = začátek + výhra = (1 dílek + 8) + 1 dílek = 2 dílky + 8 = 52

2 dílky = 52 − 8 = 44 → 1 dílek = 22

Začátek = 22 + 8 = 30

3 🎲 13.3 — Ivana

Ivana vyhrála 18, prohrála 12. Na konci měla o šestinu více než na začátku.

Čistý zisk = 18 − 12 = 6 žetonů. A těch 6 žetonů je přesně ta šestina začátku!

Šestina začátku = 6 → začátek = 6 × 6 = 36

Kontrola: 36 + 18 − 12 = 42, a 42 = 36 + 6 = 36 + šestina z 36 ✅

✅ Výsledek

13.1) prohrála 38 → E 13.2) vylosoval 30 → A 13.3) vylosovala 36 → D

⚠️ CERMAT chyták

U přiřazovacích úloh si dávej pozor: odpovědi přiřazuješ k tabulce, ne k číslu úlohy! Vždy si zkontroluj, ke kterému písmenu patří tvůj výsledek.

Také pozor na slovíčko „o šestinu více" — to znamená začátek + šestina začátku, ne „šestina celkového počtu".

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 6 (4 body)

Po prázdninách onemocnělo mnoho žáků.

V pondělí chyběla 1/6 žáků. V úterý chyběla 1/4 žáků. V pátek bylo ve škole jen 1/3 žáků = 80 žáků.

6.1) Kolik žáků měla škola celkem?

6.2) Kolik žáků bylo v pondělí ve škole?

6.3) O kolik nemocných bylo v pátek víc než v úterý?

1 🏫 Kolik žáků má škola?

V pátek bylo ve škole 80 žáků a to je třetina všech.

Třetina = 1 dílek z 3. Takže 80 žáků = 1 dílek.

Celá škola: 123 = 3 dílky

Pátek (ve škole): 1 = 1 dílek = 80 žáků

Celkem žáků = 80 × 3 = 240

2 📅 Kolik žáků bylo v pondělí ve škole?

V pondělí chyběla šestina žáků. Šestina z 240:

Nemocných v pondělí = 240 : 6 = 40

Ve škole v pondělí = 240 − 40 = 200

3 🤒 O kolik víc nemocných v pátek než v úterý?

Spočítáme nemocné v obou dnech:

Nemocní v pátek = 240 − 80 = 160

Nemocní v úterý = 240 : 4 = 60

Rozdíl = 160 − 60 = 100

✅ Výsledek

6.1) 240 žáků 6.2) 200 žáků 6.3) o 100 víc

⚠️ CERMAT chyták

Pozor na rozdíl: „ve škole bylo 1/3 žáků" = přítomní, ale „chyběla 1/6" = nepřítomní! V pondělí chyběla 1/6, takže ve škole bylo 5/6. V pátek ve škole bylo 1/3, takže chyběly 2/3.

Vždy si rozmysli, jestli zlomek udává přítomné, nebo nepřítomné žáky!

📝 Oficiální řešení CERMAT

📋 Zadání — 1. náhradní termín, Úloha 9 (2 body)

Hruškový král rozdělil zlaté hrušky mezi 3 rytíře. Druhý dostal o 24 více než první. Třetí dostal 2× více než první. Druhý a třetí dohromady dostali 6× více než první.

Kolik hrušek bylo celkem?

A) 36 B) 42 C) 48 D) 56 E) jiný počet

1 🏰 Přepíšeme na dílky

Prvnímu rytíři dáme 1 dílek a ostatní vyjádříme podle něj:

1. rytíř: 1 = 1 dílek

3. rytíř: 12 = 2 dílky (2× více než první)

A víme, že 2. + 3. = 6× první = 6 dílků.

2. rytíř = 6 dílků − 3. rytíř = 6 − 2 = 4 dílky

2. rytíř: 1234 = 4 dílky

2 🔢 Velikost jednoho dílku

2. rytíř dostal o 24 více než první. Rozdíl je 4 − 1 = 3 dílky.

3 dílky = 24 → 1 dílek = 24 : 3 = 8 hrušek

3 🍐 Kolik hrušek celkem?

1. rytíř: 1 × 8 = 8

2. rytíř: 4 × 8 = 32

3. rytíř: 2 × 8 = 16

Celkem: 8 + 32 + 16 = 56

Kontrola: 2. dostal o 24 více než 1.? 32 − 8 = 24 ✅ 2.+3. = 6× první? 48 = 6 × 8 ✅

✅ Výsledek

D) 56 hrušek

💡 Tip pro CERMAT

Když máš víc podmínek (2× více, 6× více, o 24 více), nakresli si dílky a vyjádři všechno pomocí prvního rytíře. Rozdíl dílků ti ukáže, kolik je 1 dílek.

U výběrových úloh můžeš taky zkoušet odpovědi — zkus dosadit 56 a ověř, jestli sedí všechny podmínky.

📝 Oficiální řešení CERMAT

🎯 Rady pro CERMAT: Technika dílků

Co si odnést z tohoto tématu

🧭 Strategie řešení

Najdi celkový počet ze zlomku — pokud víš, že třetina = 80, tak celek = 80 × 3 = 240
Na číselné ose: zjisti velikost jednoho dílku z rozdílu dvou známých bodů
Vyjádři všechny osoby/věci pomocí dílků jedné z nich a hledej podmínku, která ti prozradí velikost dílku
U žetonů/věcí: začátek + výhry − prohry = konec — jednoduchá rovnováha

⚠️ Typické chytáky

„Třetina" vs „o třetinu méně/více" — to je obrovský rozdíl! Třetina = dělení třemi, o třetinu méně = poměr 3:2
Zlomky z různých celků — pozor, jestli je třetina počítána ze ZAČÁTKU nebo z KONCE
„Ve škole" vs „chybělo" — jeden udává přítomné, druhý nepřítomné. Dávej pozor, co přesně zadání říká!
U přiřazovacích úloh: kontroluj písmena v tabulce, ne jen čísla

❌ Nejčastější chyby

Zapomenout, že zlomek = část z celku, ne absolutní číslo — 1/3 z 240 ≠ 1/3 z 80
Na číselné ose špatně spočítat dílky mezi dvěma body (vždy si nakresli a přepočítej!)
Neověřit si výsledek zpětnou kontrolou — dosaď čísla zpět a zkontroluj všechny podmínky
Zaměnit „2× více" s „o 2 více" — obrovský rozdíl v CERMATu!

🧩 Technika dílků

🔑 Co je dílek?

🎯 Rady pro CERMAT: Technika dílků